Aplicação do Método Gráfico de Wilson Para Determinação dos Coeficientes de Transferência de Calor

1. INTRODUÇÃO

O processo de aquecimento ou resfriamento de fluidos é muito comum nos processos industriais, de geração de energia ou até mesmo num Shopping Center.

O equipamento destinado a essa finalidade é conhecido como trocador de calor que consiste, em dois sistemas distintos, através dos quais, circularam dois fluidos diferentes, um que será aquecido e o outro que será resfriado.

Existem trocadores de calor mais simples, que usam o ar como fluido de resfriamento. Estes possuem uma capacidade de carga térmica limitada, tendo em vista que são dependentes da temperatura ambiente e, portanto, em dias quentes, tem o seu rendimento prejudicado, além do fato, da transferência de calor por convecção usando gases é menor quando usando líquido.

Por conta disso, nos processos de alta carga térmica ou quando envolve condensação ou vaporização de um dos fluidos é mais comum o uso de trocadores de calor mais eficientes. Um dos mais comuns é conhecido como trocador de calor casco tubo, representado na figura 1.

Este consiste em dois sistemas hidráulicos distintos, composto por um casco e tubos por onde circulam dois fluidos distintos, aquele que será aquecido e aquele que será resfriado.

Nesse tipo de trocador de calor, a condução e a convecção são os processos de transferência de calor mais significativos. A radiação, embora presente, é muito pequena para a maioria dos processos, sendo, portanto, desprezível. Condução é o tipo de transferência de calor que literalmente atravessa uma dada superfície, enquanto, a convecção, tem-se uma movimentação de massa de fluido, em outras palavras, tem-se um escoamento de um fluido que, literalmente, “carrega” o calor para outro local.

As análises da condução e da convecção podem ser feitas através da Lei de Fourier e lei de Resfriamento de Newton, respectivamente.

A primeira lei consiste numa expressão que relaciona o fluxo de calor por área "q" que atravessa a superfície numa dada direção, a temperatura “T” e a condutividade térmica “k” do material. O cálculo é relativamente simples, consistindo em resolver uma integração, com relação ao tipo de parede que pode ser plana, cilíndrica ou esférica.

Já a segunda lei consiste numa expressão que relaciona o fluxo de calor por área da superfície, o coeficiente de transferência de calor por convecção “h” (também chamada de coeficiente de película) e o diferencial de temperatura entre o fluido e a superfície. Embora, matematicamente, tenha-se uma expressão simples, a análise da convecção é muito mais complexa, tendo em vista que o coeficiente de película “h” não é tão fácil de se obter, pois depende das características do fluido e das condições do escoamento, que levam em consideração as equações de conservação da massa, da quantidade de movimento e da energia, além da geometria da superfície.

Essa abordagem analítica é bem complexa e as soluções já desenvolvidas são para geometrias mais simples de superfície, sob condições previamente estabelecidas.

Tendo em vista, que as aplicações práticas de engenharia, frequentemente, envolvem configurações geométricas e de escoamento complexas, a aplicação do método analítico é praticamente não aplicável.

Por conta disso, uma abordagem mais prática foi desenvolvida com base na lei de Newton de resfriamento, levando em consideração a área da superfície, um coeficiente médio de transferência de calor por convecção e a diferença de temperatura da superfície e a temperatura do fluido.

Dessa forma, os problemas de convecção são reduzidos à obtenção dos coeficientes de película.

Um dos métodos utilizados para a análise de trocadores de calor é conhecido como o “Método Gráfico de Wilson” e suas diferentes modificações, que fornece uma poderosa ferramenta para análise e o design de processos de transferência de calor por convecção em laboratórios de pesquisa. Ele trata da determinação de coeficientes de convecção com base em dados experimentais medidos e na subsequente construção de equações de correlação apropriadas.

Este trabalho consiste na apresentação desse método, bem como, da sua aplicação em um trocador de calor composta de apenas um tubo por onde circula internamente água de refrigeração. O tubo em questão é aletado, cujos detalhes serão apresentados mais adiante.

2. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO

2.1. Condução de Calor

A condução de calor, como já mencionado, pode ser obtido através da lei de Fourier que, considerando a área pela qual o fluxo acontece pode ser escrita como:

Aplicando a equação para o tubo representado na figura abaixo, na direção radial e já substituindo pela área de troca térmica, tem-se:

Integrando-se na direção de r, obtém-se:

Um conceito conveniente de se trabalhar em sistemas térmicos é o de resistência térmica que permite a combinação de vários processos de transferência de calor, simultaneamente.

Para a condução de calor através de um tubo a resistência térmica pode ser escrita como:

Note que foi inserido o diâmetro na equação 4, ao invés do raio. Tal alteração não afeta o resultando tendo em vista que a proporção não se altera na divisão do logaritmando.

Para sistemas onde o fluxo acontece por meio de várias resistências térmicas em sequência, dá-se o nome de resistências em série e o valor da resistência total é a soma algébrica de cada uma das resistências.

Usando o conceito de resistência térmica, o fluxo de calor pode ser calculado através da expressão:

2.2. Convecção de Calor

A convecção de calor em uma superfície tubular pode ser calculada pela lei de resfriamento de Newton, conforme a expressão:

Já a resistência térmica por convecção pode ser calculada através:

Embora a convecção possa acontecer espontaneamente devido à variação de massa específica do fluido em contato com a superfície, esta costuma ser pequena, quando comparado com a convecção forçada, que acontece por meio de um equipamento que promove o escoamento, como por exemplo, um ventilador que força o movimento do ar ou uma bomba que provoca o movimento do líquido. Sendo assim, abordar-se-á no presente trabalho, apenas a convecção forçada.

Como já mencionado, o problema principal da convecção é a obtenção do coeficiente de película que depende das condições da superfície e do escoamento.

Pelo princípio da aderência, quando um fluido em escoamento, entre em contato com uma superfície, ele se adere a ela. Como consequência, devido a viscosidade do fluido, observa-se uma alteração no perfil de velocidade do escoamento. A influência da superfície sobre o escoamento acontece até um certo limite. A esse limite, dá-se o nome de camada-limite, como ilustrado pela linha pontilhada na figura 03.

Semelhantemente, quando um fluido escoa através de uma superfície com temperatura diferente da superfície, um fluxo de calor se inicia, de tal forma que temos uma variação do perfil de temperatura do escoamento. Também teremos um limite, a partir do qual, a temperatura da superfície não mais afetará a temperatura do escoamento. A esse limite, dá-se o nome de camada-limite térmica, conforme ilustrado pela linha vermelha na figura 04.

Na superfície, como não existe movimento de fluido, devido a aderência do fluido a ela, a transferência de calor ali ocorre exclusivamente por condução. Ao mesmo, imediatamente acima da superfície esse calor é retirado pela convenção, assim, combinando-se a condução e convenção, tem-se que o coeficiente de película h depende da condução e a diferença de temperatura da superfície e do fluido fora da camada limite.

Do ponto de vista do escoamento, a camada-limite de velocidade pode ser laminar, turbulento ou parte laminar e parte turbulenta.

Lembrando que em um escoamento turbulento tem-se um movimento global de partículas de fluido em toda seção, quando comparado com o escoamento laminar, dessa forma, pode-se concluir, que o coeficiente de película será maior para esse tipo de escoamento como ilustrado na figura 05.

Sendo assim, quanto maior for a turbulência do escoamento, maior será o coeficiente de transferência de calor por convecção, e consequentemente maior será a troca térmica.

Pode-se determinar se um escoamento é laminar ou turbulento através do número adimensional, chamado número de Reynolds que é definido para escoamentos em tubos pela expressão:

Se Re < 2000, tem-se escoamento laminar, 2000 < Re < 2400, tem-se escoamento de transição e por fim, Re > 2400, tem-se escoamento turbulento.

Semelhantemente, tem-se um número adimensional para relacionar os efeitos térmicos na camada limite. Esse é o chamando número de Prandtl que é definido pela expressão:

Já o coeficiente de película pode ser relacionado à camada limite por meio de um outro número adimensional, chamado número de Nusselt, que para um tubo pode ser obtido pela expressão:

Pensando em um escoamento através de um tubo, o calor trocado entre fluido e a superfície pode ser calculada pela expressão:

Acontece que, como mencionado anteriormente, teremos um perfil de temperatura entre a superfície do tubo e o centro do tubo, passando pela camada-limite térmica.

De forma semelhante, como acontece com a velocidade de um escoamento, onde a velocidade não é uniforme na seção e define-se o conceito de velocidade média, pode-se trabalhar com o de temperatura média, de tal forma, que a equação 10 pode ser reescrita como:

Por outro lado, o fluxo de calor também pode ser calculado através da convecção entre a superfície do tubo e o escoamento.

Analisando a equação 5, pode-se verificar que a temperatura do fluido escoando através do tubo é correspondente a temperatura Too , mas ela não é constante, de tal forma que não é possível aplicá-la diretamente.

Felizmente consegue-se avaliar o caso sob determinadas condições.

Para casos, onde a temperatura superficial é constante, pode-se verificar que a temperatura decai exponencialmente na direção do escoamento, dessa forma, pode-se definir uma média logarítmica das diferenças de temperatura (LMTD do inglês logarithmic mean temperature difference) de tal maneira que a equação 6 pode ser aplicada, sendo ajustada fica:

LMTD pode ser calculado pela expressão:

Inserindo os valores correspondentes a Delta T, obtêm-se:

Avaliando-se um escoamento laminar, incompressível, com propriedades constantes e com temperatura da superfície constante, conclui-se que o número de Nusselt é uma constante independente de Re e Pr e vale NuD = 3,66, porém como já mencionado, normalmente os escoamentos em tubos são turbulentos, e esse valor não pode ser utilizado.

Alguns estudos para escoamento turbulento já foram realizados e fórmulas para o cálculo de Nu já foram obtidas, entre elas, temos:

Essas equações já foram confirmadas experimentalmente para as seguintes condições:

Para escoamentos caracterizados por grandes variações das propriedades, é recomendado a equação proposta por Sieder e Tate, a saber:

Também já foi confirmada experimentalmente para as seguintes condições:

2.3. O Método Gráfico de Wilson

Este método foi proposto por E. E. Wilson para avaliar o coeficiente de película em trocadores de calor casco tubo com condensação de vapor na superfície externa dos tubos e um líquido de resfriamento escoando internamente nos tubos.

Se baseia na separação do coeficiente global de transferência de calor, da resistência térmica convectiva interna e agrupando as demais resistências térmicas.

A resistência térmica global do trocador de calor pode ser obtida pela expressão:

O fator de fuligem é também chamado de fator de incrustação que corresponde ao fenômeno de deposição de material sobre a superfície que acontece ao longo do tempo, aumentando assim, a resistência térmica global.

Mas também tem-se:

Para o caso específico em questão, a variação no fluxo de massa de água provocará imediatamente uma mudança no coeficiente de película interna, o que consequentemente, afeta a resistência total de transferência de calor, no entanto, as demais resistências permanecem constantes, assim:

Como mencionado anteriormente, o coeficiente de película está relacionado as características do escoamento e do fluido. Tais relações podem ser expressas através dos números adimensionais apresentados previamente, como Re, Pr e Nu.

Assumindo que o número de Nusselt segue o mesmo formato proposto por Colburn e Dittus Boelter, equações 16 e 17, tem-se:

Adotando fator n igual a 0,4 (aquecimento), igualando a equação 10 e isolando hi, tem-se:

Além disso, se a variação da vazão em massa do escoamento não afetar significativa as propriedades do fluido, então, o coeficiente de película interno será proporcional a Re^m, assim a resistência térmica interna de convecção será proporcional a como mostrado na equação 24.

Combinando as equações (19), (21) e (24), vem:

Usando o conceito de resistência térmica, equação 5, já ajustando para a média de temperatura apropriada, o fluxo de calor total pode ser calculado através da expressão:

A LMTD pode ser calculada pela equação 14. Isolando RTot, tem-se:

Dessa forma, adotando-se um valor para o coeficiente “m” e plotando em um gráfico os valores de RTot por a partir de dados experimentais, podemos traçar uma curva de tendência e, a partir desta, determinar os fatores C1 e C2, conforme ilustrado na figura 6.

Esse procedimento também é chamado de Regressão Linear e para o exemplo da figura 06, C1 vale 0,1314 e C2 vale 154,48.

Uma vez que, as constantes C1 e C2 são determinadas, pode-se calcular os valores para he, hi e C.

O coeficiente de película he pode ser obtido a partir das equações (21) e 06 combinas, hi vem das equações (24) e (7) combinadas e, por fim, tem-se C a partir da equação (23), ficando:

Esse procedimento que foi apresentado acima é conhecido como o método gráfico de Wilson.

Caso a variação de temperatura do fluido que escoa internamente no tubo for suficiente para provocar variações significativas de viscosidade, recomenda-se o uso da equação (18) ao invés da equação (17), mantendo-se inalterados os demais passos, assim:

Nesse caso, uma nova etapa de tentativas e erro é necessária, pois será a temperatura da parede do tubo deverá ser adotada.

Pode-se resumir o procedimento da seguinte forma:

1. Assume-se a temperatura da superfície interna do tubo.

2. Aplica-se o método gráfico de Wilson descrito acima com a equação (31);

3. Verifica-se se a temperatura assumida está adequada.

Para a verificação do passo 3, assumimos que o calor transferido pelo o vapor é igual ao calor recebido pelo líquido em escoamento no tubo, assim pode-se calcular a temperatura da parede interna do tubo pela expressão:

O processo de interação é completado quando todos os parâmetros são calculados.

2.4. O Método Gráfico Modificado de Wilson

O método apresentado na seção anterior requer a adoção dos valores dos expoentes dos números adimensionais de Reynolds e de Prandtl.

Para não ser necessário essa adoção de valores dos expoentes, é comum a aplicação de uma segunda equação que permite a obtenção do expoente m.

A esse método, dá-se o nome de método gráfico modificado de Wilson, que será descrito a seguir.

Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação (25), observando as propriedades de logaritmo e isolando as expressões, obtém-se:

Semelhantemente, ao que foi feito anteriormente para obtenção de C, C1 e C2, pode através da plotagem dos valores obter por regressão linear, o valor do expoente m, conforme ilustrado na figura 07.

No exemplo da figura 07, o valor de m vale 0,9085.

O procedimento de análise passa, portanto, aos seguintes passos:

1. Adota-se um valor para o expoente m e aplica-se o método de Wilson para a obtenção das constantes C1 e C2.

2. Calcula-se os valores para , plota-se o resultado e se obtém o valor de m através da regressão linear.

3. Comparam-se os valores do expoente m adotado e obtido graficamente. Se forem iguais, o processo está finalizado.

4. Caso os valores adotado e obtido sejam diferentes, retorna-se ao passo 1.

5. Calcula-se os demais parâmetros C, ho e hi.

6. Note que para os exemplos apresentados nas figuras 06 e 07, o valor previamente adotado para madotado = 0,8 não coincide com o valor de mobtido = 0,9085.

3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

O experimento aqui descrito foi executado por José Fernández -Seara, Francisco J. Uhía & James Sieres, cabendo a nós a análise dos dados obtidos.

3.1. Bancada de Teste

A bancada experimental, usada na obtenção de dados está representada na figura 8.

A área de teste é feita em material transparente que permite a observação dos fenômenos. O tubo a ser testado fica localizado na parte superior da área de teste.

O recipiente é preenchido com água até um nível abaixo do tubo de teste. A água é então aquecida através de um aquecedor elétrico localizado na parte inferior do recipiente.

O vapor gerado preenche o espaço superior e condensa na parte externa do tubo de teste. Dessa forma, temos a temperatura constante da superfície do tubo de teste que é a própria temperatura de saturação da água.

A pressão interna da câmara de vapor é mantida praticamente constante e próxima à pressão atmosférica devido a presença de uma válvula de alívio.

O tubo é internamente refrigerado por meio de um fluxo de água que circula através do tubo de teste, forçado por meio de uma bomba. Esse circuito é fechado e, portanto, existe a presença de um resfriador a ar para promover o resfriamento da água aquecida durante o teste.

A vazão em massa é regulada por meio de duas válvulas manuais.

A bancada também conta com um regulador de potência, que permite controlar o calor gerado pelo aquecedor elétrico.

A vazão de água é medida por meio de um medidor de vazão magnético.

Sensores de temperatura medem a temperatura da água na entrada e na saída do tubo de teste.

3.2. Procedimento Experimental

A bancada foi equipada com um tubo aletado de inox, conforme ilustrado na figura 09.

Este por sua vez, tem as seguintes características:

Pode-se observar, pela tabela, que a quantidade de aletas por polegadas varia de 5 a 12 e também a altura da aleta varia de 0 a 15 mm. Para os cálculos de área total de troca de calor foram consideradas 9 aletas e 8 mm de altura, que correspondem aos valores médios.

Uma vez instalado o tubo de teste, inicia-se o experimento. O fluxo de água é ajustado para uma dada velocidade média, desde 0,28 (m/s) até 2,06 (m/s) produzindo um escoamento turbulento para números de Reynolds entre 3750 e 27000 aproximadamente.

Para cada velocidade, várias leituras de temperatura na entrada e saída do tubo são realizadas.

Após a coleta de dados, uma nova vazão é ajustada, aguarda-se a estabilização do sistema e uma nova série de leituras é realizada e o procedimento vai sendo repetido até que todas as situações desejadas sejam obtidas.

3.3. Cálculos Executados

Para cada conjunto de dados correspondentes a uma velocidade ajustada, faz-se uma média dos valores medidos para a temperatura de entrada e a temperatura de saída. É essa média que será utilizada nos cálculos seguintes.

Para cada temperatura, por meio de uma tabela de propriedades da água são obtidas as suas propriedades, tais como, condutividade k, volume específico, calor específico a pressão cp e viscosidade.

Para algumas temperaturas, uma interpolação é necessária para a obtenção do valor correspondente da propriedade para a temperatura em questão.

Para o presente caso, foram obtidos os seguintes valores:

Posteriormente, para cada velocidade, fora seguidos os seguintes passos:

1) Calcula-se a através da equação

2) Calcula-se LMTD através da equação (15)

3) Calcula-se q através da equação (12)

4) Calcula-se Re através da equação (8)

5) Calcula-se Pr através da equação (9)

6) Calcula-se RTot através da equação (27)

7) Adota-se um valor para o expoente m e então calcula-se

8) Plota-se os valores para RTot versus

9) Traça-se uma linha de tendência

10) Obtém-se a equação da reta por regressão linear

11) Obtêm-se as constates C1 e C2

12) Calculam-se .

13) Plota-se os valores para

14) Traça-se a linha de tendência

15) Obtém a equação da reta por regressão linear

16) Obtém-se o valor de m

17) Compara-se madotado e mobtido

18) Se m forem iguais passa para o próximo passo, do contrário, volta-se ao passo 6

19) Calcula-se he através da equação (28)

20) Calcula-se hi através da equação (29)

21) Calcula-se C através da equação (30)

22) Caso a variação de temperatura seja alta, adota-se Ts

23) Calcula-se a relação de viscosidades

24) Calcula-se hi,corrigida­ multiplicando hi por

25) Verifica-se a temperatura da superfície.

Por fim, cumpridas as etapas anteriores pode-se passar para análise dos resultados.

Para o fator de fuligem, foi adotado o valor 0,0001, conforme tabela 11.1 contida na referência [1], página 428;

No presente estudo, foi obtida a seguinte planilha de dados calculados, da primeira parte.

A partir dos parâmetros calculados contidos na tabela 3, pôde-se plotar os gráficos RTot versus (1/Re^m) , a partir do qual, identifica-se os parâmetros C1 igual a 0,1161 e C2 igual a 126,67, conforme pode ser observado no gráfico representado na figura 10.

De forma semelhante, a partir dos demais valores calculados, apresentados na tabela 4, é possível plotar o diagrama ln(1/Rtot-C1) e ln (Re) e confirmar o valor do expoente m.

Assim, os coeficientes de películas hi, he e as constante C e Ccorrigido (a partir da equação 31) podem ser calculadas.

As linhas marcadas em amarelo possuem inconsistência na hora do cálculo de ln(1/Rtot-C1) pois não gerava resultado, de tal sorte, que o diagrama ficava deformado. Eliminando-se esses dados, o resultado pode ser observado, como mostra a figura 11.

4. CONCLUSÃO

O método gráfico de Wilson mostra-se um meio eficaz para a obtenção de parâmetro de troca de calor em trocadores de calor.

Fazendo-se uma comparação do número de Nusselt calculo por três métodos distintos, a saber, pelo coeficiente C obtido experimentalmente (equação 22), pelo método proposto por Dittus Boelter (equação 16) e pelo método proposto por Colburn (equação 17) notamos uma divergência bastante significativa do valor obtido do primeiro método para os outros dois.

Tal diferença pode ser devido a vários fatores.

Um ponto importante em nossa análise é que foram negligenciados os efeitos das aletas na transferência de calor.

Suas áreas foram consideradas apenas como se fossem áreas cilíndricas, no entanto, numa análise mais aprofundada, existe um fluxo de calor em paralelo de condução e convenção por condução, o que complica significativamente as análises.

Também, é necessário incluir o conceito de rendimento das aletas, tendo em vista que a temperatura ao longo delas não é constante e também afetará o resultado final.

O ponto mais crítico é o fato da resistência térmica da aleta estar relacionada ao coeficiente de película, que no caso é desconhecido e um processo de interação deve ser desenvolvido para aprimorar essa análise.

Outro ponto ainda, com relação as aletas é as incertezas relacionadas a quantidade e altura, de tal forma que as áreas consideradas podem estar bem comprometidas tanto para mais quanto para menos.

Também é importante salientar que existem inconsistências em alguns dados, por exemplo, para a velocidade de 1,11 (m/s) a temperatura estimada da superfície é de 106ºC, o que é um absurdo teórico, tendo em vista que o vapor a pressão atmosférica é no máximo 100ºC. Esta linha também é a que apresentou inconsistências matemáticas na hora de se calcular Ln [1/(RTot - C1)].

Semelhantemente, as outras linhas destacadas em amarelo aparecem dados divergentes dos demais dados da tabela, como por exemplo uma taxa de transferência de calor, muito superior as demais.

Possivelmente, o sistema ainda não estava em regime permanente, quando os dados foram coletados.

De qualquer forma, o experimento se mostrou bem consistente, principalmente, do ponto de vista didático, que permitiu a apresentação e aplicação do método gráfico de Wilson e o método gráfico modificado de Wilson.

Como sugestão, para outros trabalhos, fica o desenvolvimento mais aprofundado de tubos aletados, usando como base a teoria existente.

5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

[1] F.P. Incropera, D. P. Dewitt, T. L. Bergman, A. S. Lavine, Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa, 6ª Edição Ed.LTC 2008

[2] J. Fernández-Seara, F. J. Uhía & J. Sieres (2007), Laboratory Practices with the Wilson Plot Method, Experimental Heat Transfer, 20:2, 123-135, DOI: 10.1080/08916150601091415.

[3] J. Fernández-Seara, F. J. Uhía, J. Sieres & A. Campo (2007), A general review of the Wilson plot method and its modifications to determine convection coefficients in heat exchange devices, Applied Thermal Engineering 27, 2745–2757, DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2007.04.004.

Escrito por: Micelli Camargo

Trabalho Final da Disciplina TNR 5703 - Análise Termo-Fluido-Dinâmica de Reatores - do curso de Mestrado IPEN (Instituto de Pesquisa Energéticas e Nucleares)

17/06/2020